1 курс. Высшая математика. Дифференцирование функций. .

Конечно, я помогу вам решить данные примеры. Для начала, давайте рассмотрим основные правила дифференцирования функций.

1. Правило константы: Если f(x) = C, где C - константа, то f'(x) = 0.
2. Правило степенной функции: Если f(x) = x^n, где n - натуральное число, то f'(x) = n*x^(n-1).
3. Правило суммы и разности: Если f(x) = g(x) ± h(x), то f'(x) = g'(x) ± h'(x).
4. Правило произведения: Если f(x) = g(x) h(x), то f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) * h'(x).
5. Правило частного: Если f(x) = g(x) / h(x), то f'(x) = (g'(x) h(x) - g(x) h'(x)) / h(x)^2.
6. Правило композиции: Если f(x) = g(h(x)), то f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

Теперь, давайте решим примеры.

Пример 1: Найдите производную функции f(x) = 3x^2 - 2x + 1.

Решение: Применим правило степенной функции и правило суммы:

f'(x) = (2 3) x^(2-1) - (1 2) x^(1-1) + 0 = 6x - 2

Ответ: f'(x) = 6x - 2.

Пример 2: Найдите производную функции f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 5x + 3.

Решение: Применим правило степенной функции и правило суммы:

f'(x) = (3 4) x^(3-1) + (2 2) x^(2-1) - (1 5) x^(1-1) + 0 = 12x^2 + 4x - 5

Ответ: f'(x) = 12x^2 + 4x - 5.

Пример 3: Найдите производную функции f(x) = (2x^2 + 3x - 1) / (x + 1).

Решение: Применим правило частного:

f'(x) = ((2 2) x^(2-1) + (1 3) x^(1-1) + 0) (x + 1) - (2x^2 + 3x - 1) (1) / (x + 1)^2 = (4x + 3) * (x + 1) - (2x^2 + 3x - 1) / (x + 1)^2

Ответ: f'(x) = (4x + 3) * (x + 1) - (2x^2 + 3x - 1) / (x + 1)^2.

Надеюсь, это поможет вам решить данные примеры. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.